Remarque 2

Supposons $G$ simplement connexe. Soient $g = L(G)$, $g_C$ la complexification de $g$, $S'$ le groupe de Lie complexe simplement connexe d’algèbre de Lie $g_C$, $\sigma$ le morphisme de $G$ dans $S'$ tel que $L(\sigma)$ soit l’injection canonique de $g$ dans $g_C$. Reprenons les notations de la démonstration de la prop. 20, partie a). Si $H = S'$ et $\varphi = \sigma$, on a $\varphi^* = \mathrm{Id}_{S'}$. Donc $(S', \sigma)$ est la complexification universelle de $G$. On notera que $\sigma$ n’est pas injectif en général (exerc. 16); toutefois son noyau est discret puisque $L(\sigma)$ est injectif. D’autre part, soit $\theta$ l’involution de $g_C$ définie par $g$, et soit $\eta$ l’automorphisme correspondant du groupe de Lie réel sous-jacent à $S'$; soit ${S'}^n$ l’ensemble des points de $S'$ invariants par $\eta$; c’est un sous-groupe de Lie réel de $S'$ d’algèbre de Lie $g$ (§ 3, n° 8, cor. 1 de la prop. 29). D’après le n° 1, cor. 1 de la prop. 1, $\sigma(G)$ est le sous-groupe intégral réel de $S'$ d’algèbre de Lie $g$, donc $\sigma(G)$ est la composante neutre de ${S'}^n$; en particulier $\sigma(G)$ est un sous-groupe de Lie réel de $S'$.