Lemme 4

Soit I un ensemble ordonné vérifiant la condition suivante : (MIN) Toute partie non vide de I contient un élément minimal. Soient E un A-module, $(e_i)_{i \in I}$ une base de E et $(x_i)_{i \in I}$ une famille d’éléments de E telle que

pour tout $i \in I$ (avec $a_{ij} \in A$, le support de la famille $(a_{ij})$ étant fini pour tout $i$). Alors $(x_i)_{i \in I}$ est une base de E.

Pour toute partie J de I, soit $E_J$ le sous-module de E de base $(e_i)_{i \in J}$. Soit $\mathscr{S}$ l’ensemble des parties J de I possédant les deux propriétés suivantes : (a) Si $i' \leq i$ et $i \in J$, on a $i' \in J$; (b) $(x_i)_{i \in J}$ est une base de $E_J$.

On vérifie immédiatement que $\mathscr{S}$, ordonné par inclusion, est inductif et non vide. Il possède donc un élément maximal J. Si $J \neq I$, soit $i_0$ un élément minimal de $I - J$ et posons $J' = J \cup \{i_0\}$. Tout élément $i \in I$ tel que $i < i_0$ appartient alors à J : on en déduit que $J'$ satisfait à (a). D’autre part, $J'$ satisfait aussi à (b); en effet, on a

d’où (b). Par suite $J' \in \mathscr{S}$, d’où une contradiction. On a donc $J = I$, ce qui démontre le lemme.

Démontrons maintenant la prop. 3. Nous allons appliquer le lemme 4, avec $I = P \cap \overline{C}$. Soit $q \in I$, et soit $I_q$ l’ensemble des $p \in I$ tels que $p \leq q$. Si $p \in I_q$, les relations

entraînent d’où

L’ensemble $I_q$ est donc borné. Comme I est discret, il s’ensuit que $I_q$ est fini, et il est clair que I satisfait à la condition (MIN). D’autre part, pour tout $p \in I$, on a

d’où aussi d’après (6)

La proposition résulte alors des lemmes 3 et 4.