Corollaire

*Soit $(X_i)_{i \in I}$ une famille d’espaces topologiques, et pour chaque $i \in I$, soient $R_i$ une relation d’équivalence dans $X_i$, $f_i$ l’application canonique $X_i \to X_i/R_i$. Soit $R$ la relation d’équivalence dans $X = \prod_{i \in I} X_i$

« pour tout $i \in I$, $\mathrm{pr}_i x \equiv \mathrm{pr}_i y \ (\mathrm{mod.}\ R_i)$ »

entre $x$ et $y$, et soit $f$ l’application produit $(x_i) \mapsto (f_i(x_i))$ de $X$ dans $\prod_{i \in I} (X_i/R_i)$. Si chacune des relations $R_i$ est ouverte, la relation $R$ est ouverte, et la bijection associée à $f$ est un homéomorphisme de $X/R$ sur $\prod_{i \in I} (X_i/R_i)$.

En effet, $R$ est la relation $f(x) = f(y)$, et comme $f$ est continue et ouverte en vertu de la prop. 8 ci-dessus et de I, p. 25, cor. 1, la conclusion résulte de la prop. 3 de I, p. 32.

En particulier, si R (resp. S) est une relation d’équivalence ouverte dans un espace topologique X (resp. Y), la bijection canonique (E, II, p. 47) de (X × Y)/(R × S) sur (X/R) × (Y/S) est un homéomorphisme; lorsqu’on ne suppose plus R et S ouvertes, cette bijection est encore continue, mais n’est plus nécessairement un homéomorphisme, même lorsque l’une des relations R, S est la relation d’égalité (I, p. 96, exerc. 6).