Corollaire 1

Soient X, Y deux espaces topologiques, f une application de X dans Y. Supposons f continue en un point a ∈ X; alors, pour toute base de filtre B sur X qui converge vers a, la base de filtre f(B) converge vers f(a). Inversement, si, pour tout ultrafiltre U sur X qui converge vers a, la base d’ultrafiltre f(U) converge vers f(a), f est continue au point a.

La première assertion est une conséquence immédiate de la prop. 9. Pour démontrer la seconde, supposons que f ne soit pas continue au point a; il existe alors un voisinage W de f(a) dans Y tel que $f^{-1}(W)$ n’appartienne pas au filtre $\mathfrak{V}$ des voisinages de a dans X. Alors (I, p. 39, prop. 7) il existe un ultrafiltre U plus fin que $\mathfrak{V}$ et ne contenant pas $f^{-1}(W)$, donc contenant son complémentaire $A = X - f^{-1}(W)$ (I, p. 39, prop. 5); comme $f(A) \cap W = \varnothing, f(U)$ ne converge pas vers $f(a)$.