Exemple

Si on applique le th. d’Aleksandroff au plan numérique R², on obtient un espace compact, dont on peut définir comme suit un homéomorphisme sur la sphère S₂ d’équation x₁² + x₂² + x₃² = 1 dans l’espace R³ : au point ω qu’on a adjoint à R² (point à l’infini), on fait correspondre le point (0, 0, 1) de S₂ ; et à tout point (x₁, x₂) de R² on fait correspondre le point où la droite joignant les points (0, 0, 1) et (x₁, x₂, 0) recoupe S₂. Cet homéomorphisme est connu sous le nom de projection stéréographique (voir A, IX, § 10, exerc. 14 et VI, §2, N° 4).