Corollaire 2

Soit $I$ un ensemble préordonné filtrant ayant un ensemble cofinal dénombrable. Soient $(X_\alpha, f_{\alpha\beta}), (X'_\alpha, f'_{\alpha\beta})$ deux systèmes projectifs d’ensembles relatifs à $I$, et pour tout $\alpha \in I$, soit $u_\alpha : X_\alpha \to X'_\alpha$ une application telle que les $u_\alpha$ forment un système projectif d’applications; posons $u = \lim_{\leftarrow} u_\alpha$. Soit $x' = (x'_\alpha)$ un élément de $X' = \lim_{\leftarrow} X'_\alpha$ vérifiant la condition suivante: pour tout $\alpha \in I$, il existe $\beta \geqslant \alpha$ tel que, pour tout $\gamma \geqslant \beta$, on ait $f_{\alpha\gamma}(\overline{u}_\gamma(x'_\gamma)) = f_{\alpha\beta}(\overline{u}_\beta(x'_\beta))$; alors il existe $x \in X = \lim_{\leftarrow} X_\alpha$ tel que $u(x) = x'$.

Il suffit d’appliquer le th. 1 au système projectif des ensembles $\overline{u}_\alpha^{-1}(x'_\alpha)$, munis de la structure uniforme discrète (cf. E, III, p. 58, prop. 5).