Corollaire

Étiquette 0E9T, permanente. À citer comme [Bourbaki, Tag 0E9T].

General Topology, chapter III, § 3. Structures uniformes de groupes

Soient $G_1, G_2$ deux groupes topologiques admettant des groupes séparés complétés $\hat{G}_1, \hat{G}_2$ respectivement. Pour tout homomorphisme continu $f : G_1 \to G_2$ , il existe un homomorphisme continu $\hat{f} : \hat{G}_1 \to \hat{G}_2$ et un seul rendant commutatif le diagramme

\begin{array}{ccc} G_1 & \xrightarrow{f} & G_2 \\ \varphi_1 \downarrow & & \varphi_2 \downarrow \\ \hat{G}_1 & \xrightarrow{\hat{f}} & \hat{G}_2 \end{array}

où $\varphi_1$ et $\varphi_2$ sont les homomorphismes canoniques.

Il suffit d’appliquer la prop. 8 à l’homomorphisme $\varphi_2 \circ f : G_1 \to \hat{G}_2$ .

Bourbaki place la démonstration juste après l’énoncé : ce qui précède est l’énoncé avec sa démonstration.

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