Proposition 10

Soient G un groupe commutatif, $\mathscr{T}_1, \mathscr{T}_2$ deux topologies séparées compatibles avec la structure de groupe de G; on suppose que $\mathscr{T}_1$ est plus fine que $\mathscr{T}_2$ et qu’il existe un système fondamental de voisinages de 0 pour $\mathscr{T}_1$ qui soient fermés pour $\mathscr{T}_2$. Soient $G_1, G_2$ les groupes complétés de G pour $\mathscr{T}_1$ et $\mathscr{T}_2$ respectivement, et soit $f : G_1 \to G_2$ l’homomorphisme continu qui prolonge l’application identique de G (III, p. 22, prop. 5); alors $f$ est injectif.

Supposons G noté additivement. Soit $\mathfrak{U}_1$ la structure uniforme sur G correspondant (III, p. 20) à la topologie $\mathscr{T}_1$; il suffira de montrer que si $\mathfrak{F}$ et $\mathfrak{F}'$ sont deux filtres de Cauchy minimaux (II, p. 14) pour $\mathfrak{U}_1$, qui convergent dans $G_2$ vers le même point a, alors $\mathfrak{F} = \mathfrak{F}'$ (II, p. 21). Pour cela, il suffit de montrer que $\mathfrak{F} \cap \mathfrak{F}'$ est un filtre de Cauchy pour $\mathfrak{U}_1$. Soit V un voisinage de 0 dans G pour $\mathscr{T}_1$, fermé pour $\mathscr{T}_2$; soit W un voisinage symétrique de 0 dans G pour $\mathscr{T}_1$, tel que $W + W \subset V$. Par hypothèse, il existe dans $\mathfrak{F}$ (resp. $\mathfrak{F}'$) un ensemble M (resp. $M'$) petit d’ordre $W_d$; pour $x \in M, y \in M$, on a donc $y - x \in W$, ou encore $y \in x + W$; si $\overline{W}$ et $\overline{V}$ sont les adhérences de W et V dans $G_2$, on déduit de ce qui précède que $y \in x + \overline{W}$, donc, puisque a est adhérent à M, $a \in x + \overline{W}$ pour tout $x \in M$. De même, on a $a \in x' + \overline{W}$ pour tout $x' \in M'$, d’où l’on tire $x - x' \in \overline{W} + \overline{W}$; mais comme $(x, y) \mapsto x + y$ est une application continue de $G_2 \times G_2$ dans $G_2$, on a $\overline{W} + \overline{W} \subset \overline{W} + \overline{W} \subset \overline{V}$. On en conclut que pour $x \in M, x' \in M'$, on a $x - x' \in \overline{V} \cap G = V$, puisque V est fermé pour $\mathscr{T}_2$; ceci achève donc la démonstration.