Corollaire 1

Sous les hypothèses de la prop. 10, si A est une partie de G qui est un sous-espace complet pour la structure uniforme $\mathfrak{U}_2$ correspondant à $\mathscr{T}_2$, A est aussi un sous-espace complet pour la structure uniforme $\mathfrak{U}_1$ correspondant à $\mathscr{T}_1$.

En effet, si $A_1$ est l’adhérence de $A$ dans $G_1$, $f(A_1)$ est contenu dans l’adhérence de $A$ dans $G_2$, égale à $A$ par hypothèse. Comme $f(A) = A$ par définition et que $f$ est injective, on a $A_1 = A$.