Corollaire 2

Soient $G$ un groupe commutatif, $\mathscr{T}_1, \mathscr{T}_2$ deux topologies séparées compatibles avec la structure de groupe de $G$. On suppose que $\mathscr{T}_1$ est plus fine que $\mathscr{T}_2$ et qu’il existe un système fondamental $\mathfrak{V}$ de voisinages de $0$ pour $\mathscr{T}_1$ qui soient complets pour la structure uniforme $\mathfrak{U}_2$ correspondant à $\mathscr{T}_2$. Alors $G$ est complet pour la structure uniforme $\mathfrak{U}_1$ correspondant à $\mathscr{T}_1$.

En effet, les ensembles de $\mathfrak{V}$ sont fermés pour $\mathscr{T}_2$, donc complets pour $\mathfrak{U}_1$ en vertu du cor. 1 ; la proposition résulte alors de la prop. 4 de III, p. 22.