Corollaire

Soient G un groupe topologique, K un sous-groupe de G. Pour que G opère proprement dans $G/K$, il faut et il suffit que K soit quasi-compact.

La nécessité de la condition résulte de la prop. 4 b) de III, p. 29. Pour montrer que la condition est suffisante, observons d’abord que G opère proprement dans lui-même par translation à gauche (III, p. 27, Exemple 1) et d’autre part l’application canonique $\psi : G \to G/K$ est propre (III, p. 28, cor. 2). Il suffit alors d’appliquer la prop. 5, (i) en y faisant $G, \varphi = \mathrm{Id}_G, E = G, E' = G/K, \psi$ étant l’application canonique.