Corollaire 1

Soit $(x_i)_{i \in I}$ une famille sommable dans un groupe commutatif dont l’élément neutre admet un système fondamental dénombrable de voisinages; l’ensemble des indices i tels que $x_i \neq 0$ est alors dénombrable.

En effet, soit $(V_n)$ un système fondamental dénombrable de voisinages de 0; si $H_n$ est l’ensemble des indices i tels que $x_i \notin V_n$, l’ensemble H des indices i tels que $x_i \neq 0$ est la réunion des $H_n$, et chacun des $H_n$ est fini d’après la prop. 1.

Ce corollaire n’est plus nécessairement valable lorsqu’on ne suppose pas que l’origine possède un système fondamental dénombrable de voisinages. Considérons par exemple, le groupe produit $\mathbf{R}^\mathbf{R}$ (groupe additif des fonctions numériques finies d’une variable réelle, muni de la topologie de la convergence simple (cf. X, § 1, n° 3)) et soit $f_a$ l’élément de $\mathbf{R}^\mathbf{R}$ tel que $f_a(a) = 1, f_a(x) = 0$ pour $x \neq a$; la famille $(f_a)_{a \in \mathbf{R}}$ est sommable et a pour somme la fonction égale à 1 en tout point de $\mathbf{R}$. \ Toutefois: