Corollaire 3

Soient $G$ un groupe, $G_0$ un sous-groupe de $G$, $(H_\alpha)$ une famille filtrante décroissante de sous-groupes distingués de $G_0$. On suppose que les $H_\alpha$ forment un système fondamental de voisinages de $e$ pour une topologie séparée sur $G$, compatible avec la structure de groupe de $G$. Alors le groupe topologique $G$ ainsi défini admet un groupe complété $\hat{G}$, et l’adhérence $\overline{G_0}$ de $G_0$ dans $\hat{G}$ est canoniquement isomorphe à $\lim_{\leftarrow} G_0/H_\alpha$.

En effet, $G_0$ est un sous-groupe ouvert de $G$; l’application $x \mapsto x^{-1}$ de $G_0$ dans $G$ est uniformément continue pour la structure uniforme droite de $G$, car les relations $x \in G_0,\ y \in G_0,\ xy^{-1} \in H_\alpha$ entraînent $yx^{-1} \in H_\alpha$, puis $x^{-1}y = x^{-1}(yx^{-1})x \in H_\alpha$ puisque $H_\alpha$ est un sous-groupe distingué de $G_0$. L’existence du groupe complété $\hat{G}$ résulte donc de III, p. 25, prop. 9; comme alors $\overline{G_0}$ s’identifie au groupe complété de $G_0$ (II, p. 26, cor. 1), la seconde assertion résulte du cor. 2.

Dans toute la fin de ce numéro, nous supposerons que $G$ est séparé et que $(H_\alpha)$ est une famille décroissante filtrante de sous-groupes distingués compacts vérifiant la condition (AP); en vertu de la prop. 2 (III, p. 60), l’application $i : G \to \tilde{G} = \lim_{\leftarrow} G/H_\alpha$ est alors un isomorphisme de groupes topologiques, permettant d’identifier $G$ et $\tilde{G}$; nous noterons $f_\alpha$ l’application canonique $G \to G/H_\alpha$.