Remarque

Si le sous-groupe $H_\alpha$ est compact pour un $\alpha \in I$, alors $H_\beta$ est compact pour $\beta \geq \alpha$, puisque c’est un sous-groupe fermé de $H_\alpha$. Comme l’ensemble des $\beta \in I$ tels que $\beta \geq \alpha$ est cofinal à $I$, il revient essentiellement au même, pour l’étude du groupe $G$, de supposer un des $H_\alpha$ compact ou tous les $H_\alpha$ compacts.