Proposition 5

Soit f une fonction numérique quelconque, définie dans une partie partout dense A d’un espace topologique E; si, pour tout $x \in E$, on pose $g(x) = \liminf_{y \to x, y \in A} f(y)$, g est semi-continue inférieurement dans E.

En effet, quel que soit $h < g(x)$, il existe un voisinage ouvert V de x tel que, pour tout $z \in V \cap A$, $h < f(z)$; or V est un voisinage d’un quelconque de ses points y; on a donc $\liminf_{z \to y, z \in A} f(z) = g(y) \geq h$ quel que soit $y \in V$, d’où la proposition.

On dit que g est la fonction régularisée semi-continue inférieurement de f. On définit de même la régularisée semi-continue supérieurement de f.

On peut encore définir g comme la plus grande des fonctions $\varphi$ semi-continues inférieurement dans E, et telles que $\varphi(x) \leq f(x)$ quel que soit $x \in A$. Si f est semi-continue inférieurement dans A, g est un prolongement de f à E, d’après la prop. 3.