Corollaire 3

Pour $n \geqslant 1$, la sphère $S_n$ est homéomorphe à l’espace quotient de la boule $B_n$, obtenu en identifiant tous les points de la sphère $S_{n-1}$.

En effet, la boule $B_n$ est un espace régulier (I, p. 56); donc l’espace quotient F de $B_n$ obtenu en identifiant tous les points de $S_{n-1}$ est séparé (I, p. 58, prop. 15). Comme $B_n$ est un espace compact, F est compact, et est donc homéomorphe à l’espace compact déduit d’une boule ouverte à $n$ dimensions par adjonction d’un point à l’infini, en vertu du th. d’Alexandroff (I, p. 67, th. 4); les prop. 2 (VI, p. 10) et 4 entraînent donc le corollaire.

En particulier, pour $n = 1$, compte tenu de la prop. 4 de V, p. 2: