Corollaire 1

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General Topology, chapter VII, § 1. Sous-groupes et groupes quotients de $\mathbf{R}^n$

Afin que, pour tout $\mathbf{x} = (x_j)$ $(1 \leq j \leq n)$ et tout $\varepsilon > 0$ , il existe m entiers $q_i$ $(1 \leq i \leq m)$ et n entiers $p_j$ $(1 \leq j \leq n)$ tels que

|q_1 a_{1j} + q_2 a_{2j} + \cdots + q_m a_{mj} - p_j - x_j| \leq \varepsilon \quad \text{pour } 1 \leq j \leq n,

il faut et il suffit qu’il n’existe aucune suite finie $(r_j)$ de n entiers non tous nuls, telle que chacun des m nombres $\sum_{j=1}^n a_{ij} r_j$ soit entier.

En effet, si G est dense dans $\mathbf{R}^n$ , c’est-à-dire si $\overline{G} = \mathbf{R}^n$ , $G^*$ est réduit à 0, et réciproquement.

En particulier, pour $m = 1$ :

Bourbaki place la démonstration juste après l’énoncé : ce qui précède est l’énoncé avec sa démonstration.

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Rien.