Corollaire 2

Soient $\theta_1, \theta_2, \ldots, \theta_n$ n nombres réels. Afin que, quels que soient les n nombres réels $x_1, x_2, \ldots, x_n$ et le nombre $\varepsilon > 0$, il existe un entier q et n entiers $p_j$ tels que

*il faut et il suffit qu’il n’existe aucune relation de la forme $\sum_{j=1}^n r_j \theta_j = h$, où les $r_j$ sont n entiers non tous nuls, et h un entier (condition qui entraîne, en particulier, que les $\theta_j$, ainsi que les rapports $\theta_j / \theta_k$ pour $j \neq k$, doivent être irrationnels).*

On peut interpréter ce résultat de la façon suivante: pour tout entier $q \in \mathbf{Z}$, désignons par $\mathbf{x}_q$ le point de coordonnées $q\theta_j - [q\theta_j]$ ($1 \leq j \leq n$); alors le cor. 2 donne une condition nécessaire et suffisante pour que l’ensemble des $\mathbf{x}_q$ soit dense dans le cube produit des intervalles $(0, 1)$ des espaces facteurs de $\mathbf{R}^n$.