Proposition 11

Tout sous-groupe fermé de $\mathbf{T}$, distinct de $\mathbf{T}$, est un groupe cyclique fini. Pour tout entier $n > 0$, $\mathbf{T}$ contient un sous-groupe d’ordre $n$ et un seul, qui est l’ensemble des éléments de $\mathbf{T}$ dont l’ordre divise $n$. Tout groupe quotient séparé de $\mathbf{T}$, non réduit à l’élément neutre, est isomorphe à $\mathbf{T}$.

Soit $f : \mathbf{R} \to \mathbf{T}$ l’homomorphisme canonique. Les sous-groupes fermés de $\mathbf{T}$ sont les $f(H)$, où H est un sous-groupe fermé de $\mathbf{R}$ contenant $\mathbf{Z}$. D’après VII, p. 5, cor. 1 du th. 2, on a soit $H = \mathbf{R}$, c’est-à-dire $f(H) = \mathbf{T}$, soit $H = (1/n)\mathbf{Z}$, où $n$ est un entier $> 0$, auquel cas $f(H)$ est cyclique d’ordre $n$ et est l’ensemble des éléments de $\mathbf{T}$ dont l’ordre divise $n$. La dernière assertion résulte de l’existence d’un isomorphisme de $\mathbf{R}/H$ sur $\mathbf{T}/f(H)$.

Il résulte notamment de ce qui précède que $T^n$ et $T^m$ ne peuvent être algébriquement isomorphes que si $n = m$. En effet, $T^n$ possède $2^n - 1$ points d’ordre 2 et $2^n - 1 \neq 2^m - 1$ si $n \neq m$.

Tout groupe quotient séparé de $T^n$ est compact; il est donc isomorphe à un groupe quotient compact de $\mathbf{R}^n$, donc à un groupe $T^k$, $0 \leq k \leq n$ (VII, p. 8, prop. 9).