Définition 1

On dit qu’une fonction f, définie dans $\mathbf{R}^n$, et prenant ses valeurs dans un ensemble quelconque E, est périodique s’il existe un point $\mathbf{a} \neq 0$ de $\mathbf{R}^n$ tel que

quel que soit $\mathbf{x} \in \mathbf{R}^n$. Si f est périodique, tout point $\mathbf{a} \in \mathbf{R}^n$ pour lequel la relation (1) est une identité en $\mathbf{x}$, est appelé une période de f.

L’ensemble G des périodes d’une fonction périodique f est évidemment un sous-groupe (non réduit à 0 par hypothèse) du groupe additif $\mathbf{R}^n$. Lorsque f est une application périodique continue de $\mathbf{R}^n$ dans un espace topologique séparé E, son groupe des périodes G est fermé. En effet, si $G_x$ désigne l’ensemble des $\mathbf{a} \in \mathbf{R}^n$ tels que $f(\mathbf{x} + \mathbf{a}) = f(\mathbf{x})$ pour un point donné $\mathbf{x} \in \mathbf{R}^n$, G est l’intersection des $G_x$ lorsque $\mathbf{x}$ parcourt $\mathbf{R}^n$, et chacun des $G_x$ est fermé (I, p. 53, prop. 2). Soit alors V le plus grand sous-espace vectoriel contenu dans G (VII, p. 5, th. 2); la fonction f est constante dans toute classe mod. V; si W désigne un sous-espace vectoriel supplémentaire de V, f est déterminée par sa restriction à W. Autrement dit (W étant un groupe topologique isomorphe à un $\mathbf{R}^p$), l’étude des fonctions périodiques continues dans $\mathbf{R}^n$ se ramène à l’étude de celles de ces fonctions $f$ dont le groupe des périodes $G$ est discret; si ce groupe est de rang $q$, on dit que $f$ est une fonction $q$ fois périodique, et tout système libre de $q$ points engendrant $G$ est appelé un système principal de périodes de $f$.

Si $(\mathbf{a}_i)$ et $(\mathbf{b}_i)$ sont deux systèmes principaux de périodes de $f$, on a vu (VII, p. 2) que chacun d’eux se déduit de l’autre par une transformation linéaire à coefficients entiers, de déterminant $+1$ ou $-1$.

Soit $\varphi$ l’application canonique de $\mathbf{R}^n$ sur $\mathbf{R}^n/G$; à toute application $g$ de $\mathbf{R}^n/G$ dans un ensemble $E$ correspond la fonction $\dot{g} = g \circ \varphi$, qui est une application périodique de $\mathbf{R}^n$ dans $E$, ayant un groupe de périodes qui contient $G$; et réciproquement, toute application de $\mathbf{R}^n$ dans $E$, admettant un groupe de périodes qui contient $G$, est de cette forme, puisqu’elle est compatible avec la relation $x \equiv y$ (mod. $G$) (E, II, p. 44). On définit ainsi une application bijective $g \mapsto \dot{g}$ de l’ensemble des applications de $\mathbf{R}^n/G$ dans $E$, sur l’ensemble des applications de $\mathbf{R}^n$ dans $E$ dont le groupe de périodes contient $G$. Pour que $\dot{g}$ soit continue (lorsque $E$ est un espace topologique) il faut et il suffit que $g$ le soit (I, p. 21, prop. 6).