Corollaire 3

Lorsque $n \neq m$, $\mathbf{R}^n$ et $\mathbf{R}^m$ ne sont pas localement isomorphes.

Supposons $\mathbf{R}^n$ et $\mathbf{R}^m$ localement isomorphes. D’après le cor. 2 et la prop. 1 de VII, p. 11, il existe une application linéaire $f$ de $\mathbf{R}^m$ sur $\mathbf{R}^n$ qui est un isomorphisme local. Alors $f$ est injective, et par suite $m = n$.

Soit $G$ un groupe topologique. Le corollaire précédent montre qu’il existe au plus un entier $n$ tel que $G$ soit localement isomorphe à $\mathbf{R}^n$.