Proposition 3

L’application qui associe à chaque $\mathbf{q} \in \mathbf{S}_3$ l’endomorphisme

du $\mathbf{C}$-espace vectoriel $\mathbf{H}$ est un isomorphisme du groupe $\mathbf{S}_3$ sur le groupe spécial unitaire $\mathbf{SU}(N)$.

Soit $\mathbf{q} \in \mathbf{S}_3$; posons $a_q(\mathbf{x}) = \mathbf{xq}^{-1}$ pour $\mathbf{x} \in \mathbf{H}$. Comme $N(a_q(\mathbf{x})) = N(\mathbf{x})$ pour $\mathbf{x} \in \mathbf{H}$, l’endomorphisme $a_q$ appartient au groupe unitaire $\mathbf{U}(N)$. D’autre part, d’après A, III, p. 111, ex. 2, le déterminant de $a_q$ est égal à 1, de sorte que $\mathbf{q} \mapsto a_q$ est un homomorphisme de groupes de $\mathbf{S}_3$ dans $\mathbf{SU}(N)$. Celui-ci est injectif, puisque $\mathbf{q} = a_q(1)^{-1}$. Soit enfin $u \in \mathbf{SU}(N)$; posons $\mathbf{q} = u(1)$. On a

donc $\mathbf{q} \in \mathbf{S}_3$; posons $v = a_q^{-1} \circ u$. On a $v \in \mathbf{SU}(N)$ et $v(1) = 1$. Il s’ensuit que $v$ laisse stable l’orthogonal $\mathbf{C}j$ de 1 pour la forme $N$, donc que l’on a $v(j) = zj$ avec $z \in \mathbf{C}$; mais cela implique $z = \det(v) = 1$, soit $v = 1$, c’est-à-dire $u = a_q$.

Soit $\mathbf{H}_0$ le sous-$\mathbf{R}$-espace vectoriel de $\mathbf{H}$ formé des quaternions $\mathbf{x}$ purs, c’est-à-dire tels que $T(\mathbf{x}) = 0$. Notons $N_0$ la restriction à $\mathbf{H}_0$ de la forme quadratique $N$ et $\mathbf{SO}(N_0)$ le groupe spécial orthogonal correspondant (A, IX, §6, n° 2). Si on identifie $\mathbf{H}_0$ à $\mathbf{R}^3$ à l’aide de la base $(i, j, k)$, le groupe $\mathbf{SO}(N_0)$ s’identifie au groupe spécial orthogonal $\mathbf{SO}(3, \mathbf{R})$ de la forme quadratique

Soit $q \in \mathbf{H}^*$ et $x \in \mathbf{H}$; d’après A, III, p. 16, formule (17), on a $T(qxq^{-1}) = T(x)$, de sorte que $qxq^{-1}$ est pur lorsque $x$ l’est.