Proposition 4

L’application qui associe à chaque $q \in S_3$ l’endomorphisme $x \mapsto qxq^{-1} = q x \bar{q}$ de l’espace $\mathbf{H}_0$ des quaternions purs est un homomorphisme surjectif du groupe $S_3$ sur le groupe spécial orthogonal $\mathbf{SO}(N_0)$; son noyau est formé des quaternions $1$ et $-1$.

Soit $q \in S_3$; posons $b_q(x) = qxq^{-1}$ pour $x \in \mathbf{H}_0$. Comme $N(b_q(x)) = N(x)$ pour $x \in \mathbf{H}_0$, l’endomorphisme $b_q$ de $\mathbf{H}_0$ appartient au groupe orthogonal $\mathbf{O}(N)$. D’autre part, l’espace vectoriel $\mathbf{H}$ est somme directe de $\mathbf{R}$ et de $\mathbf{H}_0$, et l’endomorphisme $x \mapsto qxq^{-1}$ de $\mathbf{H}$ est somme directe de $b_q$ et de l’automorphisme identique de $\mathbf{R}$; d’après A, III, p. 111, ex. 2, le déterminant de $b_q$ est donc égal à 1, et $q \mapsto b_q$ est un homomorphisme du groupe $S_3$ dans le groupe spécial orthogonal $\mathbf{SO}(N_0)$. Le noyau $K$ de cet homomorphisme est formé des éléments de $S_3$ qui commutent à tous les éléments de $\mathbf{H}_0$, donc qui appartiennent au centre de $\mathbf{H}$; comme ce centre est égal à $\mathbf{R}$, on a $K = S_3 \cap \mathbf{R} = \{-1, 1\}$.

Il nous reste à prouver que tout élément $u$ de $\mathbf{SO}(N_0)$ est de la forme $b_q$ pour un élément convenable $q$ de $S_3$. Supposons d’abord que l’on ait $u(i) = i$. Alors $u$ laisse stable l’orthogonal $Rj + Rk = Cj$ de $i$ et induit sur cet espace un élément $u$ du groupe spécial orthogonal de la forme induite par $N_0$, c’est-à-dire de la forme $zj \mapsto |z|^2$; il existe donc un élément $a \in U$ tel que $\bar{u}(zj) = azj$. Soit $q \in U$ tel que $q^2 = a$; on a

comme $b_q(i) = i$, cela implique $u = b_q$. Traitons maintenant le cas général. On a $u(i)^2 = -1$, et $i$ et $u(i)$ engendrent deux sous-corps isomorphes de $\mathbf{H}$. D’après le théorème de Skolem-Noether (A, VIII, §10, n° 1, th. 1), il existe $q \in \mathbf{H}^*$ tel que $u(i) = qi\bar{q}^{-1}$; remplaçant $q$ par $q/|q|$, on peut supposer $q \in S_3$. D’après ce qui précède, il existe $q' \in S_3$ tel que $b_{q'}^{-1} \circ u = b_{q'}$, donc $u = b_{qq'}$, ce qui achève la démonstration.