Corollaire

L’application qui associe à chaque $(q, q') \in S_3 \times S_3$ l’endomorphisme $x \mapsto qx{q'}^{-1} = qx\bar{q}'$ du $\mathbf{R}$-espace vectoriel $\mathbf{H}$ est un homomorphisme surjectif du groupe produit $S_3 \times S_3$ sur le groupe spécial orthogonal $\mathbf{SO}(4, \mathbf{R})$ de la forme quadratique $N$; son noyau est formé des couples $(1, 1)$ et $(-1, -1)$.

Soit $(q, q') \in S_3 \times S_3$; posons $c_{q,q'}(x) = qx{q'}^{-1}$ pour $x \in \mathbf{H}$. On voit comme ci-dessus que $(q, q') \mapsto c_{q,q'}$ est un homomorphisme du groupe produit $S_3 \times S_3$ dans le groupe spécial orthogonal $\mathbf{SO}(N)$. Si $c_{q,q'} = 1$, on a en particulier $c_{q,q'}(1) = 1$, donc $q = q'$, et la restriction de $c_{q,q'}$ à $\mathbf{H}_0$ est l’endomorphisme $b_q$; on a $b_q = 1$, donc $q = 1$ ou $q = -1$. Il reste à prouver que tout élément $u$ de $\mathbf{SO}(N)$ est de la forme $c_{q,q'}$. Supposons d’abord que $u(1) = 1$; alors $u$ laisse stable l’orthogonal $\mathbf{H}_0$ de 1 et induit sur $\mathbf{H}_0$ un élément de $\mathbf{SO}(N_0)$; d’après la proposition 4, il existe donc $q \in S_3$ tel que $u = c_{q,q}$. Dans le cas général, posons $v = c_{1,u(1)^{-1}} \circ u$; on a $v(1) = 1$; il existe donc $q \in S_3$ tel que $v = c_{q,q}$, et on a $u = c_{q,u(1)q}$.