Proposition 1

L’application $f$ de $\Sigma_n(\mathbf{C})$ dans $P(\mathbf{C}[X]_n)$ définie ci-dessus est un homéomorphisme.

L’application $f$ est bijective car $\mathbf{C}$ est algébriquement clos (VIII, p. 1, th. 1). Il est clair que l’application $((a_1, b_1), \ldots, (a_n, b_n)) \mapsto q((b_1 X - a_1) \ldots (b_n X - a_n))$ de $(\mathbf{C}^2 - \{0\})^n$ dans $P(\mathbf{C}[X]_n)$ est continue; d’après I, p. 34, cor. de la prop. 8 et I, p. 21, prop. 6, l’application $f$ est continue. Comme $\Sigma_n(\mathbf{C})$ est quasi-compact (I, p. 62, th. 2), et $P(\mathbf{C}[X]_n)$ séparé, la bijection $f$ est un homéomorphisme (I, p. 63, cor. 2 au th. 2).