Corollaire

L’espace projectif complexe à $n$ dimensions est homéomorphe à la puissance symétrique $n$-ième de la droite projective complexe.

Soient $P \in \mathbf{C}[X]_n$ un polynôme non nul et $a \in \mathbf{C}$; notons $v_a(P)$ la multiplicité de $a$ comme racine de $P$, c’est-à-dire le plus grand entier positif $m$ tel que $(X - a)^m$ divise P. On note $v_\infty(P)$ l’entier positif $n - \deg(P)$, et on dit que le point $\infty$ de $\mathbf{P}_1(\mathbf{C})$ est racine de P si $v_\infty(P) > 0$. On a (A, IV, § 2, n° 4, prop. 7 et A, V, § 4, n° 1, prop. 1)

Pour toute partie A de $\mathbf{P}_1(\mathbf{C})$, on note $v_A(P)$ le nombre des racines de P dans A comptées avec leur multiplicité, c’est-à-dire l’entier $\sum_{a \in A} v_a(P)$.