Proposition 2

Soit A une partie ouverte (resp. fermée) de $\mathbf{P}_1(\mathbf{C})$. La fonction numérique $P \mapsto v_A(P)$ est semi-continue inférieurement (resp. supérieurement) en tout point de $\mathbf{C}[X]_n - \{0\}$ (IV, p. 28).

Soient P un point de $\mathbf{C}[X]_n - \{0\}$, A une partie ouverte de $\mathbf{P}_1(\mathbf{C})$; posons $v_A(P) = r$. La partie $A_1 \times \cdots \times A_n$ de $\mathbf{P}_1(\mathbf{C})^n$, où $A_1 = \cdots = A_r = A, A_{r+1} = \cdots = A_n = \mathbf{P}_1(\mathbf{C})$, est ouverte; son image U dans $\Sigma_n(\mathbf{C})$ est ouverte d’après III, p. 9, lemme 2; d’après la prop. 1, la partie $f(U)$ de $\mathbf{P}(\mathbf{C}[X]_n)$ est ouverte. Soit V son image réciproque dans $\mathbf{C}[X]_n - \{0\}$; c’est un ensemble ouvert contenant P; il se compose des polynômes de la forme $\Pi (b_i X - a_i)$, avec $(a_1, b_1), \ldots, (a_r, b_r)$ dans V; on a donc $v_A(Q) \geq r$ pour $Q \in V$. Ceci prouve que $v_A$ est semi-continue inférieurement lorsque A est ouvert; si A est fermé, son complémentaire B est ouvert, et la fonction $v_B = n - v_A$ est semi-continue supérieurement d’après ce qui précède.