Corollaire 1

Soient U une partie ouverte de $\mathbf{P}_1(\mathbf{C})$, F sa frontière. L’ensemble des polynômes $P \in \mathbf{C}[X]_n - \{0\}$ tels que $v_F(P) = 0$ est ouvert, et la fonction $v_U$ est localement constante dans cet ouvert. Pour tout entier r, l’ensemble des $P \in \mathbf{C}[X]_n - \{0\}$ tels que $v_F(P) = 0$ et $v_U(P) = r$ est ouvert.

L’ensemble E des points P où la fonction semi-continue supérieurement $v_F$ est < 1 est ouvert (IV, p. 29, prop. 1). Pour P dans E, on a $v_U(P) = v_{\overline{U}}(P)$ où $\overline{U}$ désigne l’adhérence $U \cup F$ de U; la restriction de $v_U$ à E est semi-continue inférieurement et supérieurement, donc continue, c’est-à-dire localement constante. L’ensemble des points de E où elle prend la valeur r est donc ouvert.