Remarque 2

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General Topology, chapter IX, § 1. Génération d’une structure uniforme par une famille d’écarts. Espaces uniformisables

Si $f$ est un écart sur $X$ , on peut en général avoir $f(x, y) = 0$ pour des couples $(x, y)$ tels que $x \neq y$ ; c’est ce que montre l’exemple 3 ci-dessus (cf. IX, p. 1).

De l’inégalité du triangle, on déduit que, si $f(x, z)$ et $f(y, z)$ sont finis, il en est de même de $f(x, y)$ ; en outre, dans ce cas, on a

f(x, z) \leq f(y, z) + f(x, y) \quad \text{et} \quad f(y, z) \leq f(x, z) + f(x, y),

et par suite

(1)

|f(x, z) - f(y, z)| \leq f(x, y).

Si $f$ est un écart sur $X$ , il en est de même de $\lambda f$ , quel que soit le nombre fini $\lambda > 1$ . Si $(f_i)_{i \in I}$ est une famille quelconque d’écarts sur $X$ , la somme $\sum_{i \in I} f_i(x, y)$ est définie pour tout couple $(x, y) \in X \times X$ ; si on désigne sa valeur par $f(x, y)$ , $f$ est un écart sur $X$ . De même, l’enveloppe supérieure $g$ de la famille $(f_i)$ (IV, p. 21) est un écart sur $X$ , car des relations $f_i(x, y) \leq f_i(x, z) + f_i(z, y)$ , on déduit

\sup_{i \in I} f_i(x, y) \leq \sup_{i \in I} (f_i(x, z) + f_i(z, y)) \leq \sup_{i \in I} f_i(x, z) + \sup_{i \in I} f_i(z, y)

(IV, p. 25, formule (17)).

Bourbaki place la démonstration juste après l’énoncé : ce qui précède est l’énoncé avec sa démonstration.

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Rien.

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Rien.