Proposition 6

Soit X un espace topologique; il existe un espace compact Z et une application continue $f : X \to Z$ ayant la propriété suivante: pour toute application continue g de X dans un espace compact Y, il existe une application continue et une seule $h : Z \to Y$ telle que $g = h \circ f$. En outre, si $Z_1$ est un espace compact et $f_1$ une application continue de X dans $Z_1$ ayant les mêmes propriétés que Z et f, il existe un homéomorphisme unique u de Z sur $Z_1$ tel que $f_1 = u \circ f$.

En d’autres termes, le couple $(Z, f)$ est solution du problème d’application universelle (E, IV, p. 22) où $\Sigma$ est la structure d’espace compact, les morphismes étant les applications continues, ainsi que les $\alpha$-applications.

En effet, considérons la famille $(f_\lambda)_{\lambda \in L}$ de toutes les applications continues de X dans $I = [0, 1]$, et soit $\varphi$ l’application continue $x \mapsto (f_\lambda(x))_{\lambda \in L}$ de X dans $I^L$; alors l’adhérence $Z = \overline{\varphi(X)}$ dans $I^L$ est compacte; notons $f$ l’application continue de X dans Z déduite de $\varphi$, et montrons que Z et f répondent à la question. Il suffit de prouver l’existence de h lorsque $Y = I$; en effet, tout espace compact Y peut être identifié à un sous-espace fermé de $I^A$ pour un ensemble A convenable (IX, p. 8, prop. 4); si, pour tout $\alpha \in A$, il existe une application continue $h_\alpha$ de Z dans I telle que $\mathrm{pr}_\alpha \circ g = h_\alpha \circ f$, on aura donc

pour tout $x \in X$; l’application $h = (h_\alpha)$ de Z dans $I^A$ est donc telle que $h(z) \in Y$ pour tout $z \in \varphi(X)$; comme $h$ est continue et $\varphi(X)$ partout dense dans $Z$, on aura bien $h(Z) \subset Y$ (I, p. 9, th. 1) donc la factorisation $g = f \circ h$ aura la propriété voulue.

Supposons donc $Y = I$; alors par définition, si $g : X \to I$ est continue, il existe un indice $\lambda \in L$ tel que $g = f_\lambda$, et on a donc la factorisation $g = (\mathrm{pr}_\lambda | Z) \circ f$. L’unicité de $h$ résulte de ce que $Y$ est séparé et de ce que $h$ est déterminé de façon unique dans $\varphi(X)$, qui est partout dense dans $Z$. L’unicité du couple $(Z, f)$ à isomorphisme unique près est un résultat général sur les problèmes d’application universelle (E, IV, p. 23).