Corollaire

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General Topology, chapter IX, § 1. Génération d’une structure uniforme par une famille d’écarts. Espaces uniformisables

Pour que $f$ soit injective, il faut et il suffit que l’ensemble des applications continues de $X$ dans $I = (0, 1)$ sépare les points de $X$ . Pour que $f$ soit un homéomorphisme de $X$ sur $f(X)$ , il faut et il suffit que $X$ soit complètement régulier.

La première assertion résulte aussitôt de la façon dont $f$ a été définie dans la démonstration de la prop. 6. La seconde résulte des prop. 3 et 4 (IX, p. 8).

L’espace compact $Z$ défini dans la prop. 6 est appelé compactifié de Stone-Čech de $X$ et noté parfois $\beta X$ .

Bourbaki place la démonstration juste après l’énoncé : ce qui précède est l’énoncé avec sa démonstration.

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Rien.