Proposition 7

Pour que toute fonction numérique $f$ (finie ou non) semi-continue inférieurement dans un espace topologique $X$, soit l’enveloppe supérieure des fonctions numériques (finies ou non) continues dans $X$ et $\leq f$, il faut et il suffit que $X$ soit uniformisable.

La condition est nécessaire: en effet, soient $x_0$ un point quelconque de $X$, et $V$ un voisinage ouvert quelconque de $x_0$; la fonction caractéristique $\varphi_V$ de l’ensemble $V$ est semi-continue inférieurement (IV, p. 29, corollaire); par hypothèse, il existe donc une fonction numérique $g$ continue dans $X$, telle que $g \leq \varphi_V$ et $g(x_0) = a > 0$; la fonction continue $\inf(1, (1/a)g^+)$ prend ses valeurs dans $(0, 1)$, est égale à 0 dans $\mathbf{C}V$ et à 1 au point $x_0$; donc (IX, p. 7, th. 2), $X$ est uniformisable.

La condition est suffisante. Considérons d’abord le cas où $f$ prend ses valeurs dans $(-1, +1)$. Il faut montrer que, pour tout $x_0 \in X$ et tout nombre $a < f(x_0)$, il existe une fonction numérique $g$, continue dans $X$, telle que $g \leq f$ et $g(x_0) \geq a$. Si $a \leq -1$, il suffit de prendre pour $g$ la constante $-1$. Si $-1 < a < f(x_0)$, il existe un voisinage $V$ de $x_0$ tel que $f(x) \geq a$ pour tout $x \in V$. Comme $X$ est uniformisable, il existe une fonction numérique $h$, continue dans $X$, à valeurs dans (0, 1), et telle que $h(x_0) = 0$ et $h(x) = 1$ pour $x \in \mathbf{C}V$. Il suffit alors de prendre $g(x) = a - (a + 1)h(x)$ pour avoir une fonction continue répondant aux conditions posées. On notera que cette fonction prend ses valeurs dans $(-1, +1)$.

Le cas général se déduit du cas précédent par transport de structure : il existe en effet un homéomorphisme strictement croissant de $(-1, +1)$ sur $\overline{\mathbf{R}}$ (IV, p. 14, prop. 2).