Corollaire

(i) Tout sous-espace d’un espace métrisable de type dénombrable est métrisable de type dénombrable. (ii) Toute somme (resp. tout produit) d’une famille dénombrable d’espaces métrisables de type dénombrable est métrisable de type dénombrable.

L’assertion (i) résulte de la définition; pour prouver l’assertion (ii) relative aux sommes, notons que toute somme d’espaces métrisables est métrisable (IX, p. 16); d’autre part, si $X$ est somme d’une suite $(X_n)$ d’espaces topologiques et si $D_n$ est une partie partout dense de $X_n$, $\bigcup_n D_n$ est dense dans $X$. Enfin, l’assertion (ii) relative aux produits résulte de la prop. 12 et de la relation $(I^\mathbf{N})^\mathbf{N} = I^{\mathbf{N} \times \mathbf{N}}$, et du fait que $\mathbf{N} \times \mathbf{N}$ est dénombrable.