Corollaire

Soient $G$ un groupe métrisable complet, $G_0$ un sous-groupe partout dense dans $G$, $H_0$ un sous-groupe distingué fermé de $G_0$; si $H$ est l’adhérence de $H_0$ dans $G$, le groupe quotient $G_0/H_0$ admet alors un groupe complété isomorphe à $G/H$.

On sait que $H$ est un sous-groupe distingué de $G$ (III, p. 9, prop. 9) et la prop. 4 montre que $G/H$ est complet; si $\varphi$ est l’application canonique de $G$ sur $G/H$, il est clair d’autre part que $\varphi(G_0)$ est partout dense dans $G/H$. Le corollaire résulte donc de la prop. 21 de III, p. 14.

Dans ce qui suit, pour un espace uniforme $X$, nous noterons $i_X$ l’application canonique de $X$ dans son séparé complété $\hat{X}$, par $X_0 = i_X(X)$ le sous-espace uniforme de $\hat{X}$, qui est l’espace séparé associé à $X$; rappelons que la topologie de $X$ est l’image réciproque par $i_X$ de celle de $X_0$ (II, p. 23, prop. 12). Rappelons aussi que, pour toute application uniformément continue $f : X \to Y$, $\hat{f}$ désigne l’application uniformément continue de $\hat{X}$ dans $\hat{Y}$ telle que $\hat{f} \circ i_X = i_Y \circ f$ (II, p. 24, prop. 15); si $X$ est un sous-espace uniforme de $Y$ et $f$ l’injection canonique, $\hat{X}$ s’identifie à un sous-espace uniforme de $\hat{Y}$ et $\hat{f}$ à l’injection canonique de $\hat{X}$ dans $\hat{Y}$ (II, p. 26, cor. 1).