Lemme 1

Soient $X$ un groupe topologique admettant un groupe séparé complété métrisable, $N$ un sous-groupe distingué de $X$, $Y = X/N$, $f : X \to Y$ le morphisme canonique. Alors $\hat{f} : \hat{X} \to \hat{Y}$ est un morphisme strict surjectif de noyau identifié canoniquement à $\hat{N}$.

Soit $f_0 : X_0 \to Y_0$ l’application qui coïncide avec $\hat{f}$ dans $X_0$; comme $i_X$ (resp. $i_Y$) est un morphisme strict surjectif de $X$ sur $X_0$ (resp. de $Y$ sur $Y_0$), $f_0$ est un morphisme strict surjectif (III, p. 17, Remarque 3). Or $X_0$ et $Y_0$ sont métrisables

(IX, p. 23, prop. 1); il résulte de IX, p. 26, corollaire, et de III, p. 25, prop. 8, que $\hat{f}_0 = \hat{f}$ est un morphisme strict surjectif et admet comme noyau l’adhérence $\hat{N}_0'$ dans $\hat{X} = \hat{X}_0$ du noyau $N_0'$ de $f_0$. Il nous suffira donc de prouver que $\hat{N}_0' = \hat{N}$. Or, $N_0'$ contient évidemment $N_0 = i_X(N)$; il suffira de voir que $N_0'$ est contenu dans l’adhérence $\overline{N}_0$ de $N_0$ dans $X_0$. Or, $U = i_X^{-1}(X_0 - \overline{N}_0) = X - i_X^{-1}(\overline{N}_0)$ est un ensemble ouvert dans $X$ qui ne rencontre pas $N$; comme $f$ est un morphisme strict surjectif, $V = f(U)$ est un ensemble ouvert dans $Y$ ne contenant pas l’élément neutre $e'$ de $Y$, donc ne rencontrant pas l’adhérence de $e'$; par suite $i_Y(V)$ ne contient pas l’élément neutre de $Y_0$. Mais $i_Y(V) = f_0(X_0 - \overline{N}_0)$ par définition de $U$, donc on a $N_0' \subset \overline{N}_0$, ce qui achève de prouver le lemme 1 et la prop. 5.

La prop. 5 s’applique en particulier lorsque $X, Y$ et $Z$ sont des groupes commutatifs dont les éléments neutres admettent des systèmes fondamentaux dénombrables de voisinages, puisque dans ce cas les séparés complétés existent (III, p. 26, th. 2). En particulier, si $X$ est un tel groupe commutatif, $N$ un sous-groupe quelconque de $X$, le séparé complété $\widehat{(X/N)}$ s’identifie canoniquement à $\hat{X}/\hat{N}$.