Exemple 3

Soit $\mathscr{B}(E)$ l’ensemble des fonctions $f$ définies dans un ensemble E, prenant leurs valeurs dans un corps valué non discret K, et telles que la fonction numérique $x \mapsto |f(x)|$ soit bornée dans E. Cet ensemble est évidemment un sous-espace vectoriel de l’espace vectoriel $K^E$ (à droite ou à gauche) des applications de E dans K. Si on pose $p(f) = \sup_{x \in E} |f(x)|$, $p$ est une norme sur l’espace vectoriel $\mathscr{B}(E)$ (cf. X, p. 20).