Exemple 5

Lorsque K est un corps valué non discret ultramétrique (IX, p. 29), on appelle ultranorme sur un espace vectoriel E sur K, une norme sur E vérifiant l’inégalité (qui entraîne (NOII)):

Les normes qu’on rencontre dans les applications (lorsque K est ultramétrique) sont des ultranormes.

Nous dirons que, dans un espace normé E, la boule B (fermée) de centre 0 et de rayon 1, c’est-à-dire l’ensemble des $\mathbf{x} \in E$ tels que $p(\mathbf{x}) \leq 1$, est la boule unité de E. Montrons qu’un système fondamental de voisinages de 0 dans E est formé par les transformées de la boule unité par les homothéties $\mathbf{x} \mapsto t \mathbf{x}$, où $t$ parcourt l’ensemble des éléments $\neq 0$ de K. En effet, l’image de B par cette homothétie est la boule fermée de centre 0 et de rayon $|t|$; il suffit donc de montrer que pour tout nombre réel $r > 0$, il existe $t \in K$ tel que $0 < |t| < r$. Or, comme la valeur absolue de K n’est pas impropre, il existe $t_0 \in K$ tel que $0 < |t_0| < 1$; il suffit de prendre $t = t_0^n$, avec $n$ entier assez grand, pour que $|t| = |t_0|^n < r$.