Exemple

Étiquette 0EBZ, permanente. À citer comme [Bourbaki, Tag 0EBZ].

General Topology, chapter IX, § 3. Groupes métrisables ; corps valués ; espaces et algèbres normés

Dans l’espace $\mathbf{R}^n$ , les trois normes $\sqrt{\sum_{i=1}^n x_i^2}$ , $\sup_{1 \leq i \leq n} |x_i|$ et $\sum_{i=1}^n |x_i|$ sont équivalentes, car on a

\sup_{1 \leq i \leq n} |x_i| \leq \sqrt{\sum_{i=1}^n x_i^2} \leq \sum_{i=1}^n |x_i| \leq n \cdot \sup_{1 \leq i \leq n} |x_i|.

On notera que pour deux normes équivalentes sur $E$ , les ensembles bornés sont les mêmes.

Bourbaki place la démonstration juste après l’énoncé : ce qui précède est l’énoncé avec sa démonstration.

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Rien.

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Rien.