Corollaire 1

Pour que $f$ soit continue dans $\prod_{i=1}^n E_i$, il faut et il suffit que $f$ soit bornée dans toute partie bornée de $\prod_{i=1}^n E_i$.

Comme les normes $\|x_i\|$ ($1 \leq i \leq n$) sont bornées lorsque $x = (x_1, \ldots, x_n)$ parcourt une partie bornée de $\prod_{i=1}^n E_i$, la nécessité de la condition résulte de l’inégalité (3). Inversement, s’il existe $c > 0$ tel que les $n$ relations $\|x_i\| \leq 1$ ($1 \leq i \leq n$) entraînent $\|f(x_1, \ldots, x_n)\| \leq c$, on voit comme dans la première partie de la démonstration du th. 1 que $f$ vérifie une inégalité de la forme (3).