Corollaire 2

Soient $E, F$ deux espaces normés sur un corps valué non discret $K$. Pour qu’une application linéaire surjective $u$ de $E$ dans $F$ soit un homéomorphisme, il faut et il suffit qu’il existe deux constantes $a > 0,\ b > 0$ telles que, pour tout $x \in E$, on ait $a \|x\| \leq \|u(x)\| \leq b \|x\|$.

En effet, la condition est évidemment nécessaire en vertu du th. 1. Pour montrer qu’elle est suffisante, notons d’abord qu’elle entraîne que le noyau de $u$ est réduit à 0, donc que $u$ est bijective. En vertu du th. 1, elle entraîne ensuite que $u$ et $u^{-1}$ sont continues, d’où la conclusion.