Corollaire 1

Dans un espace normé complet $E$, toute série absolument convergente est commutativement convergente.

La réciproque de la prop. 11 est en général inexacte.

Considérons par exemple l’espace $\mathscr{B}(\mathbf{N})$ des suites bornées $x = (x_n)_{n \in \mathbf{N}}$ de nombres réels, avec la norme $\|x\| = \sup_n |x_n|$ (X, p. 20). Soit $x_m$ la suite $(x_{mn})_{n \in \mathbf{N}}$ telle que $x_{mn} = 0$ pour $n \neq m$, $x_{00} = 0$ et $x_{mn} = 1/m$ pour $m \geq 1$. On vérifie aussitôt que dans $\mathscr{B}(\mathbf{N})$ la suite $(x_m)_{m \in \mathbf{N}}$ est sommable et a pour somme l’élément $y = (y_n)$ tel que $y_0 = 0, y_n = 1/n$ si $n \geq 1$; mais comme $\|x_m\| = 1/m$, la suite des normes des $x_m$ n’est pas sommable dans $\mathbf{R}$.

On a vu toutefois (VII, p. 16) que, dans $\mathbf{R}^n$, toute famille sommable est absolument sommable.