Corollaire 2

Si dans un espace normé $E$ toute série absolument convergente est convergente, alors $E$ est complet.

En effet, soit $(x_n)$ une suite de Cauchy dans $E$. Il existe une suite strictement croissante d’entiers $(n_k)$ telle que pour tout $k \geq 1$ on ait

Par suite la série de terme général $(x_{n_{k+1}} - x_{n_k})(k \geq 1)$ est absolument convergente, donc convergente par hypothèse. Si $s$ est sa somme, $s + x_{n_1}$ est limite de la suite partielle $(x_{n_k})$; comme $(x_{n_k})$ est une suite de Cauchy, on en conclut qu’elle est convergente (II, p. 14, cor. 2 de la prop. 5), ce qui prouve que $E$ est complet.