Corollaire 2

Quel que soit le recouvrement ouvert localement fini $(A_i)_{i \in I}$ d’un ensemble fermé $F$ dans un espace normal $X$, il existe une famille $(f_i)_{i \in I}$ de fonctions numériques $\geq 0$, définies et continues dans $X$, qui est subordonnée au recouvrement $(A_i)_{i \in I}$, telle que $\sum_{i \in I} f_i(x) = 1$ pour tout $x \in F$ et que $\sum_{i \in I} f_i(x) \leq 1$ pour tout $x \in X$.

En effet, la famille d’ensembles formées des $A_i$ et de $C F$ est un recouvrement ouvert localement fini de $X$. Il existe donc une partition continue de l’unité subordonnée à ce recouvrement, formée d’une famille $(f_i)_{i \in I}$ telle que $\operatorname{Supp}(f_i) \subset A_i$ pour tout $i \in I$, et d’une fonction $g$ de support contenu dans $C F$; il est clair que la famille $(f_i)$ répond à la question.