Corollaire 1

Pour tout recouvrement ouvert (A_i)_{i∈I} d’un espace paracompact X, il existe une partition continue de l’unité (f_i)_{i∈I} sur X, subordonnée au recouvrement (A_i).

En effet, soit (U_λ)_{λ∈L} un recouvrement ouvert localement fini plus fin que (A_i)_{i∈I}; il existe donc une application φ de L dans I telle que U_λ ⊂ A_{φ(λ)} pour tout λ ∈ L. D’après le th. 3 (IX, p. 47) et la prop. 4, il existe une partition continue de l’unité (g_λ)_{λ∈L} subordonnée à (U_λ); pour tout i ∈ I, posons f_i = ∑_{φ(λ)=i} g_λ somme qui est définie et continue puisque les supports des g_λ forment une famille localement finie; en outre, la réunion B_i des supports des g_λ tels que φ(λ) = i est fermée (I, p. 6) et contenue dans A_i; comme on a f_i(x) = 0 pour x ∈ C B_i, le support de f_i est contenu dans B_i, donc dans A_i. D’autre part, la famille (B_i) est localement finie, car pour tout x ∈ X, il y a un voisinage V de x et une partie finie

H de L telle que $V \cap U_\lambda = \varnothing$ pour $\lambda \notin H$; on en conclut que $V \cap B_i = \varnothing$ pour $i \notin \varphi(H)$. Enfin, on a, pour tout $x \in X$,

ce qui achève de démontrer le corollaire.