Proposition 5

Soient X un espace localement compact, R une relation d’équivalence ouverte dans X, telle que l’espace quotient $X/R$ soit paracompact (cf. III, p. 35, prop. 13); soit $\pi$ l’application canonique de X sur $X/R$. Il existe une fonction $F \geq 0$ finie et continue dans X telle que :

a) F n’est identiquement nulle dans aucune classe suivant R; b) pour toute partie compacte K de $X/R$, l’intersection de $\pi^{-1}(K)$ avec $\operatorname{Supp}(F)$ est compacte.

Pour tout $z \in X/R$, soit $f_z : X \to [0, 1]$ une fonction continue dont le support est compact et qui n’est pas identiquement nulle dans $\pi^{-1}(z)$ (IX, p. 44, th. 2); soit $S_z$ l’ensemble ouvert des points $x \in X$ tels que $f_z(x) > 0$; on a donc $z \in \pi(S_z)$. Comme $\pi$ est une application ouverte, les $\pi(S_z)$ forment un recouvrement ouvert de $X/R$. Il existe donc un recouvrement ouvert $(U_i)_{i \in I}$ de $X/R$ localement fini, plus fin que le recouvrement formé des $\pi(S_z)$, puis (IX, p. 49, cor. 1) une partition continue de l’unité $(g_i)_{i \in I}$ sur $X/R$, subordonnée au recouvrement $(U_i)_{i \in I}$. Pour tout $i \in I$, soit $z_i \in X/R$ tel que $U_i \subset \pi(S_{z_i})$. La fonction $F_i = (g_i \circ \pi) \cdot f_{z_i}$ est continue, a son support contenu dans $\operatorname{Supp}(f_{z_i})$, donc compact; en outre, ce support est aussi contenu dans $\pi^{-1}(U_i)$. Les ensembles $\operatorname{Supp}(F_i)$ forment donc une famille localement finie, de sorte (IX, p. 46) qu’on définit une fonction finie et continue $F \geq 0$ dans X en posant $F = \sum_{i \in I} F_i$. Pour tout $z \in X/R$, il existe $i \in I$ tel que $g_i(z) > 0$, donc $z \in U_i$; puis il existe $x \in S_{z_i}$ tel que $\pi(x) = z$; alors $f_{z_i}(x) > 0$ et $g_i(\pi(x)) > 0$, donc $F_i(x) > 0$ et a fortiori $F(x) > 0$; ceci prouve que F possède la propriété a). Enfin, soit K une partie compacte de $X/R$. Il existe une partie finie J de I telle que, pour tout $i \in I - J$, on ait $U_i \cap K = \varnothing$, donc $\pi^{-1}(K) \cap \operatorname{Supp}(F_i) = \varnothing$. Alors

est compact.