Proposition 6

Soient X un espace métrisable, $(U_i)_{i \in I}$ un recouvrement ouvert de X. Il existe une partition continue de l’unité faiblement subordonnée à $(U_i)_{i \in I}$.

En effet, la prop. 3 (IX, p. 46) montre alors qu’il existe aussi une partition continue localement finie de l’unité $(g_i)_{i \in I}$ subordonnée à $(U_i)_{i \in I}$. Les ouverts $V_i = g_i([0, +\infty[)$ formeront un recouvrement ouvert de X, plus fin que $(U_i)_{i \in I}$ et localement fini.

Pour prouver la prop. 6, prenons sur X une distance $d \leq 1$ compatible avec la topologie de X (IX, p. 3 et 15). Pour tout $i \in I$, posons

On a donc $f_i(x) = 0$ si $x \notin U_i$, et

quels que soient $x, y$ dans X (IX, p. 13, formule (2)), ce qui prouve la continuité de $f_i$. Munissons I d’une structure d’ensemble bien ordonné (E, III, p. 20, th. 1), dont nous noterons $\alpha$ le plus petit élément. Pour tout $i \in I$, posons

(en convenant de prendre $h_\alpha(x) = 0$; on notera que si l’ensemble des $\lambda < i$ a un plus grand élément $\kappa$, on a $g_\kappa = h_i$);

En vertu de (3), on a $f_i(x) \leq f_i(y) + d(x, y)$ pour tout $i$, donc

et en échangeant les rôles de $x$ et $y$, on voit que

et de la même manière

ce qui prouve que les fonctions $g_i, h_i$ et $h$ sont continues dans X. En outre, on a $g_i(x) = \sup(f_i(x), h_i(x)) \geq 0$, et $g_i(x) = h_i(x)$ si $x \notin U_i$.

Posons $u_i(x) = g_i(x) - h_i(x)$, et prouvons que, pour tout $x \in X$, la famille $(u_i(x))$ est sommable dans $\mathbf{R}$ et a pour somme $\sum_{i \in I} u_i(x) = h(x)$. Il suffit évidemment de prouver, par récurrence transfinie, que l’on a

(4)

Supposons en effet la relation (4) vérifiée pour $i < \gamma$; alors la famille $(u_\lambda(x))_{\lambda \leq \gamma}$ est sommable dans $\mathbf{R}$ et l’on a

d’où $\sum_{\lambda \leq \gamma} u_\lambda(x) = g_\gamma(x)$.

Alors, la fonction continue $h$ est $> 0$ en tout point, et la famille $(u_i/h)_{i \in I}$ est une partition continue de l’unité faiblement subordonnée à $(U_i)_{i \in I}$. C.Q.F.D.