Proposition 6

Soient G un groupe localement compact dénombrable à l’infini, M un espace de Baire séparé. Supposons que G opère à gauche continûment et transitivement dans M. Pour tout x \in M, soit H_x le stabilisateur de x dans G, de sorte que l’application s \mapsto s.x de G dans M définit par passage au quotient une bijection continue $\varphi_x : G/H_x \to M$ (III, p. 12). Alors $\varphi_x$ est un homéomorphisme de G/H_x sur M (autrement dit (III, p. 12), M est un espace homogène topologique de G).

Soit x_0 \in M. Il suffit de prouver (III, p. 12, prop. 15) que l’application s \mapsto s.x_0 transforme tout voisinage V de l’élément neutre dans G en un voisinage de x_0 dans M. Soit W un voisinage compact symétrique de e dans G tel que W^2 \subset V. Par hypothèse, G est réunion d’une suite d’ensembles compacts, donc d’une suite de translatés (s_nW) de W, tout compact pouvant être recouvert par un nombre fini de tels ensembles. Alors M est réunion de la suite des ensembles s_n W . x_0, qui sont compacts (donc fermés dans M) puisque M est séparé et s \mapsto s . x_0 continue. Comme M est un espace de Baire, il existe un indice n tel que s_n W . x_0 admette un point intérieur s_n w . x_0 avec w \in W. Par suite x_0 est point intérieur de

(III, p. 9, lemme 1) de sorte que V . x_0 est un voisinage de x_0 dans M.