Corollaire

Soient G un groupe localement compact dénombrable à l’infini, G’ un groupe topologique séparé dont l’espace sous-jacent est un espace de Baire, f : G \to G’ un homomorphisme continu surjectif. Alors f est un morphisme strict surjectif (autrement dit, si H est le noyau de f, la bijection continue G/H \to G’ déduite de f est un isomorphisme de groupes topologiques).

En effet, on peut considérer G’ comme un espace où G opère continûment et transitivement par la loi (s, t’) \mapsto f(s)t’, et le stabilisateur de l’élément neutre e’ de G pour cette loi est H; il suffit donc d’appliquer la prop. 6.