Corollaire

Soient Y un espace topologique, $(X_n)_{n \in \mathbf{N}}$ une suite d’espaces lusiniens réguliers, et pour tout $n$, soit $f_n : Y \to X_n$ une application borélienne. Alors l’application $f = (f_n) : Y \to \prod_n X_n$ est borélienne.

Avec les notations de la prop. 13, il suffit de montrer que pour toute famille $(A_n)$, où $A_n$ est borélien dans $X_n$, $f^{-1}\left(\prod_n A_n\right) = \bigcap_n f_n^{-1}(A_n)$ est borélien dans Y, ce qui résulte de l’hypothèse.