Lemme 8

Toute partie borélienne d’un espace topologique E est approchable.

Il suffit de montrer que l’ensemble $\mathfrak{E}$ des parties approchables de E est une tribu. Si $(X_n)$ et $(Y_n)$ sont deux suites de parties de E, on a

ce qui entraîne aussitôt que toute réunion dénombrable d’ensembles de $\mathfrak{E}$ appartient à $\mathfrak{E}$. Soit d’autre part $X \in \mathfrak{E}$ et soit U un ouvert tel que $X \cap \mathscr{C}U$ et $U \cap \mathscr{C}X$ soient maigres. Soit V l’intérieur de $\mathscr{C}U$; alors $\mathscr{C}U \cap \mathscr{C}V$ est fermé d’intérieur vide, donc maigre. De plus. $V \cap X \subset \mathscr{C}U \cap X$ et sont maigres. Par suite, $\mathscr{C}X \in \mathfrak{E}$ et $\mathfrak{E}$ est bien une tribu.